Определение и свойства турбулентности

"Мое любимое определение турбулентности сводится к тому, что она является общим решением уравнений Навье-Стокса. Это идеальный ответ государственного служащего на запрос конгрессмена или члена Парламента: краткий, совершенно правдивый и не добавляющий ничего к тому, что было и так известно" [Bradshaw P. Turbulence: the chief outstanding difficulty of our subject // Experiments in Fluids.- 1994.- Vol.16.- P.203-216].

Согласно Хинце [Хинце И.О. Турбулентность: ее механизм и теория. М.: Физматгиз, 1963.- 680 с.], в 1937 году Тэйлор и Карман предложили следующее определение: "Турбулентность - это неупорядоченное движение, которое в общем случае возникает в жидкостях, газообразных или капельных, когда они обтекают непроницаемые поверхности или же когда соседние друг с другом потоки одной и той же жидкости следуют рядом или проникают один в другой" [J.Roy.Aeronaut.Soc.- 1937.- 41.- 1109; cм.также Dryden H.L. // Ind. Eng. Chem.- 1939.- 31.- 416]. По другому источнику [McDonough J.M. Introductory Lectures on Turbulence. Physics, Mathematics and Modeling], то же самое определение - это цитата Тэйлора Карманом на конференции в 1938 г. [T. von Karman. Some remarks on the statistical theory of turbulence / Proc. 5th Int. Congr. Appl. Mech., Cambridge, MA, 347, 1938].

Взяв приведенное выше определение в качестве основы, Хинце [Хинце И.О. Турбулентность: ее механизм и теория. М.: Физматгиз, 1963.- 680 с.] уточнил его следующим образом:

"... турбулентное движение жидкости предполагает наличие неупорядоченности течения, в котором различные величины претерпевают хаотическое изменение по времени и пространственным координатам и при этом могут быть выделены статистически точные их осредненные значения.

Добавление "по времени и пространственным координатам" является необходимым, так как недостаточно определить турбулентное движение как неупорядоченное только по времени. Возьмем, к примеру, случай, когда данное количество жидкости движется как целое неупорядоченным образом; тогда движение каждой части жидкости будет неупорядоченным по времени относительно неподвижного наблюдателя, но не по отношению к наблюдателю, движущемуся вместе с жидкостью. Турбулентное движение нельзя также мыслить как неупорядоченное только в пространстве, ибо в этом случае под определение турбулентности попадало бы и установившееся течение с нерегулярными линиями тока".

Еще одно определение принадлежит Брэдшоу [Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974.- 278 с.]:

"Турбулентность - это трехмерное нестационарное движение, в котором вследствие растяжения вихрей создается непрерывное распределение пульсаций скорости в интервале длин волн от минимальных, определяемых вязкими силами, до максимальных, определяемых граничными условиями течения. Она является обычным состоянием движущейся жидкости, за исключением течений при малых числах Рейнольдса".

Для описания турбулентности Брэдшоу предложил концепцию растяжения вихрей:

"Если в дополнение к вращению вокруг оси z элемент жидкости растягивается в направлении оси z ..., то он удлиняется в этом направлении, а его поперечное сечение уменьшается... В процессе растяжения кинетическая энергия вращения увеличивается (за счет кинетической энергии движения в направлении оси z, в результате которого возникает растяжение), а масштаб движения в плоскости xy уменьшается. Поэтому при растяжении в одном направлении (в данном случае в направлении z) могут уменьшиться компоненты скорости в двух других направлениях (x и y), что в свою очередь вызывает растяжение других элементов жидкости, имеющих компоненты завихренности по этим направлениям, и т.д. ... Энергия турбулентного движения последовательно передается к пульсациям все меньшего и меньшего масштаба (с бóльшими и бóльшими градиентами скорости)... Энергия, которая передается самым мелким вихрям, в конечном счете рассеивается вязкостью во внутреннюю тепловую энергию, но вязкость не играет сколько-нибудь значительной роли в процессе растяжения" [Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974.- 278 с.].

Чэпмен и Тобак выделили три эпохи в развитии наших представлений о турбулентности: статистическую, структурную и детерминистическую (об этом можно почитать в [Физическая энциклопедия, т.5 / Под ред. А.М.Прохорова.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.- 760 с. - статья "Турбулентность"]), и дали такое определение с позиций детерминистической концепции:

"Турбулентность - это любое хаотическое решение трехмерных уравнений Навье-Стокса, чувствительное к начальным условиям и появляющееся как результат последовательного ряда неустойчивостей ламинарного потока, возникающих при постепенном увеличении значения параметра бифуркации" [Chapman G.T., Tobak M. Observations, Theoretical Ideas, and Modeling of Turbulent Flows — Past, Present and Future / Theoretical Approaches to Turbulence (Dwoyer et al. (eds)).- New York: Springer-Verlag, 1985.- Pp.19–49].

Все приведенные определения, особенно последнее, не уступают самому определяемому явлению по сложности, туманности и неопределенности.

Брэдшоу, разочаровавшийся в попытках "искать простые решения сложной проблемы", предположил, что "феномен турбулентности в целом не является строгим и, возможно, изобретен дьяволом на седьмой день творения (когда благой Господь отвлекся)" [Bradshaw P. Turbulence: the chief outstanding difficulty of our subject // Experiments in Fluids.- 1994.- Vol.16.- P.203-216].

Еще более категорично высказался Саффман, поставив под сомнение саму постановку задачи: "Наконец, мы не должны совершенно упускать из виду, что, может быть, такого явления как "турбулентность" вообще не существует. То есть, нет смысла говорить о свойствах турбулентного течения вне зависимости от физической ситуации, в которой оно возникает. Возможно, пытаясь найти теорию турбулентности, мы гонялись за химерой. Существуют турбулентные феномены многих типов, и любой из них, представляющий практическую значимость, может быть проанализирован или описан настолько подробно, насколько требуется, при соответствующей затрате усилий. Итак, возможно, нет "реальной проблемы турбулентности", а есть огромное количество турбулентных потоков, и наша проблема сводится к надуманной и возможно нерешаемой задаче втискивания множества явлений в Прокрустово ложе универсальной теории турбулентности. Тогда рассматривать индивидуальные течения надо по отдельности, и совсем не обязательно, что идеи, верные для одной ситуации в потоке, должны переноситься и на другие. Проблема турбулентности может свестись не более чем к каталогизации. Против такой крайней точки зрения свидетельствует наличие ряда универсальных свойств течений, но, тем не менее, каталогизация и классификация могут оказаться более полезным подходом, чем мы стараемся думать" [Saffman P.G. Problems and progress in the theory of turbulence / Structure and Mechanisms of Turbulence II. Lecture Notes in Physics, 1978.- Vol.76.- P.273-306].

И если уж все равно не получается ничего определить - так пусть определение будет хотя бы легким и изящным! Именно так и получилось у известного английского метеоролога Л.Ричардсона, который еще в 1922 г. опубликовал четверостишие [Richardson L.F. Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge University Press, 1922]:

Big whorls have little whorls,
which feed on their velocity;
And little whorls have lesser whorls,
And so on to viscosity.

Или в авторизованном переводе на русский язык В.Н.Штерна [Обухов А.М. Течение Колмогорова и его лабораторное моделирование // Успехи математических наук.- 1983.- Т.38.- Вып.4(232).- С.101-111]:

В поток бурлящий бросив взгляд,
Вихрей увидишь там каскад:
Меньшой энергию у большего берет,
Пока мельчайших вязкость не сотрет.

А.Цинобер, собрав в своей книге "Неформальное введение в турбулентность" [Tsinober A. An Informal Introduction to Turbulence. Kluwer Academic Publishers, 2004.- 324 p.] коллекцию из более чем двух десятков различных определений турбулентности, охарактеризовал их все как "практически бесполезные". Его мнение разделяют и другие ученые.

Возможно, более продуктивен путь, по которому пошли Теннекес и Ламли. Вместо определения они сформулировали ряд важнейших, по их мнению, свойств турбулентности [Tennekes H., Lumley J.L. A First Course in Turbulence. The MIT Press, 1972.- 300 p.]:

"Беспорядочность

Все турбулентные течения беспорядочны или случайны. Поэтому детерминистский подход к проблеме турбулентности невозможен; вместо этого приходится основываться на статистических методах.

Диффузивность

Другая важная черта всех турбулентных потоков - диффузивность турбулентности, вызывающая быстрое перемешивание и рост переноса количества движения, тепла и массы. Если картина течения похожа на случайную, но в ней отсутствует распространение пульсаций скорости по окружающей жидкости, такое течение определенно не является турбулентным. Конденсационный след за реактивным самолетом как раз относится к таким случаям: за исключением турбулентной области сразу за самолетом конденсационные следы сохраняют свой диаметр почти постоянным на протяжении нескольких миль. Такой поток - не турбулентный, хотя он и был турбулентным в момент своего зарождения. Диффузивность - наиболее важное свойство турбулентности, когда речь идет о приложениях: она предотвращает отрыв пограничного слоя на аэродинамических профилях при больших (но не слишком больших) углах атаки, она интенсифицирует теплообмен во всех видах оборудования, она порождает сопротивление потоку жидкости в трубопроводах и, наконец, она увеличивает перенос количества движения между ветрами и океанскими течениями.

Большие числа Рейнольдса

Турбулентные потоки встречаются лишь при высоких числах Рейнольдса. Турбулентность часто возникает как результат неустойчивости в ламинарных течениях, когда число Рейнольдса становится слишком большим. Эти неустойчивости связаны со взаимодействием вязкостных и нелинейных инерционных членов в уравнениях движения. Это взаимодействие очень сложное: математика нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных еще не достигла той точки развития, когда возможно было бы дать их общее решение. Случайность в сочетании с нелинейностью делает уравнения турбулентности почти неприступными; теория турбулентности страдает от отсутствия достаточно мощных математических методов. Этот недостаток необходимых инструментов сводит все теоретические подходы к проблеме турбулентности к методу проб и ошибок. Приходится заниматься разработкой нелинейных концепций и математического инструментария; для получения ответов на вопросы недостаточно основываться только на уравнениях. Такая ситуация делает исследование турбулентности, с одной стороны разочаровывающим, с другой - нeобыкнoвенно интересным занятием: это одна из важнейших неразрешенных проблем современной физики.

Трехмерные флуктуации завихренности

Турбулентность - это вихревое и трехмерное движение. Турбулентность характеризуется высоким уровнем пульсаций завихренности. По этой причине динамика завихренности играет существенную роль в описании турбулентных течений. Случайные флуктуации завихренности, свойственные турбулентности, не могут поддерживать сами себя, если пульсации скорости были двумерными, поскольку в двумерных потоках отсутствует важный механизм сохранения завихренности, известный как растяжение вихрей. Существенно двумерные течения, такие как циклоны в атмосфере, которые определяют погоду, сами по себе не являются турбулентными, хотя на их характеристики и может сильно влиять мелкомасштабная турбулентность (генерируемая где-либо за счет сдвига или Архимедовых сил), которая взаимодействует с крупномасштабным потоком. Вообще, турбулентные течения всегда демонстрируют высокий уровень пульсаций завихренности. К примеру, случайные волны на поверхности океана не находятся в турбулентном движении, поскольку они существенно бeзвихревые.

Диссипация

Турбулентные течения всегда диссипативны. Вязкостные напряжения сдвига производят работу деформации, увеличивающую внутреннюю энергию жидкости за счет кинетической энергии турбулентности. Для компенсации этих потерь, вызванных вязкостью, турбулентности нужен постоянный подвод энергии. Если энергия поступать не будет, турбулентность быстро исчезнет. У случайных движений, таких как гравитационные волны в планетарных атмосферах и случайные звуковые волны (акустический шум), потери, связанные с вязкостью, не значительны, а, значит, они - не турбулентны. Другими словами, главное различие между случайными волнами и турбулентностью заключается в том, что волны существенно недиссипативны (хотя они часто дисперсивны), а турбулентность существенно диссипативна.

Сплошная среда

Турбулентность - это феномен, относящийся к сплошной среде, описываемый уравнениями механики жидкости. Даже наименьший масштаб в турбулентном течении обыкновенно много меньше любого молекулярного масштаба длины...

Турбулентные течения - это течения

Турбулентность - это не свойство жидкости, а свойство течений жидкости. Динамика турбулентности, по большей части, одна и та же во всех текучих средах, будь это жидкости или газы, если число Рейнольдса достаточно велико; основные характеристики турбулентных потоков не определяются молекулярными свойствами жидкости, где имеет место турбулентность. Так как уравнения движения нелинейны, картина каждого отдельного течения будет иметь свои уникальные характеристики, связанные с его начальными и граничными условиями. Общее решение уравнений Навье-Стокса не известно; следовательно, нет общих решений задач, связанных с турбулентными потоками. Поскольку каждое течение индивидуально, каждое турбулентное течение будет иметь свои особенности, хотя все они имеют немало общих характеристик. Изучающие турбулентность, естественно, игнорируют уникальность каждого индивидуального турбулентного потока и концентрируются на раскрытии и формулировании законов, описывающих целые классы или семейства турбулентных течений."